Плюккеровы координаты: шестимерная алгебра трехмерных прямых

Направляющий вектор и вектор момента

Координаты Плюккера конструируются из двух обычных трехмерных векторов. Пусть прямая проходит через точку с радиус-вектором r0 и имеет направляющий вектор v = (l; m; n). Первый компонент координат Плюккера — это сам вектор v. Второй компонент — это вектор момента прямой относительно начала координат, который вычисляется через векторное произведение: q = [r0 x v]. Вектор момента q = (p; q; r) не зависит от того, какую именно точку r0 на прямой мы выберем (так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю). Таким образом, прямая полностью и однозначно определяется шестеркой чисел L = (v; q) = (l; m; n; p; q; r).

Фундаментальное тождество (Квадрика Клейна)

Шестимерное пространство является избыточным для описания прямых, так как прямая имеет всего четыре степени свободы (две точки пересечения с двумя параллельными базовыми плоскостями). Эта избыточность компенсируется строгим алгебраическим ограничением. Поскольку вектор момента q = [r0 x v] по определению векторного произведения всегда ортогонален направляющему вектору v, их скалярное произведение тождественно равно нулю: (v, q) = l*p + m*q + n*r = 0. Любой шестимерный вектор, удовлетворяющий этому квадратичному условию (и рассматриваемый с точностью до масштабного множителя), задает реальную прямую в 3D. Геометрически множество всех таких прямых образует четырехмерную поверхность второго порядка в пятимерном проективном пространстве, известную как Квадрика Клейна.

Взаимный момент и проверка пересечения

Аналитическая мощь координат Плюккера раскрывается при исследовании взаимного расположения двух прямых. Вводится понятие взаимного момента двух прямых L1=(v1; q1) и L2=(v2; q2), которое вычисляется как перекрестное скалярное произведение: M_12 = (v1, q2) + (v2, q1). Это число обладает колоссальным геометрическим смыслом: оно в точности равно объему параллелепипеда, построенного на направляющих векторах прямых и отрезке, соединяющем их начальные точки. Из этого немедленно следует теорема: две прямые в трехмерном пространстве пересекаются (или параллельны, то есть лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их взаимный плюккеров момент равен нулю (M_12 = 0). Это позволяет процессору проверять факт столкновения лучей за считанные такты без вычисления самих точек пересечения.

Применение в теории винтов и робототехнике

Шестимерные векторы Плюккера идеально ложатся на теорию винтов Роберта Болла. В кинематике пространственных механизмов любое движение абсолютно твердого тела (сочетание поступательного переноса и вращения) можно описать как винтовое движение вдоль некоторой оси (плюккеровой прямой). Вектор угловой скорости и вектор линейной скорости полюса объединяются в кинематический винт (твист), а вектор силы и вектор момента силы — в динамический винт (ренч). Вычисление механической мощности (работы в единицу времени) шарниров промышленных роботов-манипуляторов алгебраически сводится к вычислению взаимного плюккерова момента между твистом и ренчем. Этот аппарат исключает появление сингулярностей при управлении многозвенными механизмами.