Когда аналитическая геометрия расширяется до Римановых многообразий (где метрика изменяется от точки к точке), возникает потребность строго описать степень «изогнутости» самого пространства. Изначальный объект, содержащий всю информацию о кривизне — тензор Римана — представляет собой колоссальную конструкцию с четырьмя индексами, работать с которой невероятно сложно (в 4-мерном пространстве он имеет 256 компонентов). Чтобы извлечь из него наиболее важную физическую информацию, математики используют операцию алгебраической свертки, получая более компактные, но мощные инварианты: тензор Риччи и скалярную кривизну. Этот математический аппарат Грегорио Риччи-Курбастро стал тем языком, на котором Эйнштейн написал свои законы Вселенной.

Евклидова аналитическая геометрия прекрасно работает на плоском листе бумаги или в прямоугольном трехмерном пространстве, где расстояние между точками легко вычисляется по теореме Пифагора. Однако при переходе к геометрии сложных криволинейных поверхностей (например, сферы, тора или четырехмерного пространства-времени) теорема Пифагора перестает работать. Кратчайшее расстояние между двумя городами на поверхности Земли — это не прямая линия, а дуга большого круга. Для алгебраического описания геометрии таких искривленных миров Бернхард Риман создал аппарат дифференциальной геометрии, краеугольным камнем которого является фундаментальная матрица $g_{ij}$ — метрический тензор. Он определяет сами понятия длины, угла и объема в любой произвольно искривленной системе координат.