Тензор Риччи и скалярная кривизна: геометрия искривленных пространств

Свертка тензора Римана

В тензорной алгебре операция свертки аналогична вычислению следа матрицы: мы приравниваем один верхний (контравариантный) индекс к одному нижнему (ковариантному) и выполняем суммирование по этому индексу. Применяя эту операцию к тензору кривизны Римана R^i_{jkl}, мы стягиваем первый и третий индексы (i=k), получая новый тензор второго ранга — тензор Риччи R_jl. Тензор Риччи представляет собой симметричную матрицу (R_jl = R_lj). Геометрически тензор Риччи измеряет изменение объема бесконечно узкого конуса геодезических линий в искривленном пространстве по сравнению с идеальным евклидовым пространством. Если компоненты тензора Риччи положительны, лучи света, исходящие из одной точки, начинают сходиться (фокусироваться) под действием геометрии пространства, как это происходит вблизи массивных звезд.

Скалярная кривизна (Кривизна Риччи)

Тензор Риччи все еще остается матрицей. Если мы хотим получить одну-единственную скалярную величину (число), характеризующую кривизну в данной точке, мы выполняем еще одну свертку. С помощью метрического тензора мы «поднимаем» один индекс у тензора Риччи и вычисляем его алгебраический след (суммируем диагональные элементы). Полученное число S (или R) называется скалярной кривизной. Физический смысл скалярной кривизны поразителен: она показывает, насколько объем n-мерного шара радиуса r в искривленном пространстве отличается от объема аналогичного шара в абсолютно плоском пространстве. Если скалярная кривизна положительна (как на сфере), реальный объем шара меньше евклидова; если отрицательна (седловая геометрия), реальный объем больше ожидаемого.

Тензор Эйнштейна и сохранение энергии

В дифференциальной геометрии критически важно, чтобы описывающие пространство величины удовлетворяли законам сохранения. Сам по себе тензор Риччи не обладает нулевой дивергенцией. Альберт Эйнштейн, ища математически безупречное уравнение для гравитации, сконструировал новый тензор, вычтя из тензора Риччи половину скалярной кривизны, умноженной на метрический тензор: G_ij = R_ij - 0.5 * S * g_ij. Этот объект получил название Тензора Эйнштейна. Благодаря геометрическим тождествам Бьянки, аналитическая дивергенция (ковариантная производная) тензора Эйнштейна строго тождественно равна нулю! Это алгебраическое чудо позволило приравнять чисто геометрический тензор Эйнштейна к тензору энергии-импульса материи, гарантируя строжайшее выполнение закона сохранения энергии и импульса во Вселенной.

Геометрия без гравитации: вакуумные решения

В пустом пространстве, где нет материи и энергии (тензор энергии-импульса равен нулю), Уравнения Эйнштейна сводятся к предельно простому матричному условию: R_ij = 0. Пространства, в которых тензор Риччи тождественно равен нулевой матрице, называются Риччи-плоскими многообразиями. При этом тензор Римана может быть отличен от нуля (пространство может оставаться искривленным за счет гравитационных волн или влияния удаленных черных дыр). Риччи-плоская геометрия — это сложнейший объект аналитического исследования. Одним из величайших решений этого уравнения является знаменитая Метрика Шварцшильда, описывающая сферически симметричное искривление пустого пространства-времени вокруг неподвижной черной дыры, выведенная исключительно из тензорной алгебры.