В течение почти двух тысяч лет после того, как Аполлоний Пергский описал эллипс, параболу и гиперболу как сечения трехмерного конуса плоскостью, связь между этим пространственным происхождением коник и их плоскими фокальными свойствами оставалась загадкой. Почему сумма расстояний от точек сечения до двух фокусов эллипса является константой? В 1822 году бельгийский математик Жерминаль Пьер Данделен предложил потрясающе изящное и наглядное доказательство, поместив внутрь конуса две касающиеся сферы. Шары Данделена объединили трехмерную стереометрию и двумерную аналитическую геометрию, дав блестящее математическое обоснование физическим орбитам планет и оптическим законам.

Традиционно эллипс, гипербола и парабола изучаются как три совершенно разные кривые, определяемые через различные суммы или разности расстояний до двух фокусов. Однако аналитическая геометрия предлагает потрясающе красивый объединяющий подход. Оказывается, все невырожденные конические сечения могут быть определены через одно универсальное метрическое свойство, связанное с директрисами. Директриса — это специальная фиксированная прямая линия, расположенная вне фокуса. Единое определение гласит: кривая второго порядка — это геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть строго постоянная величина. Этот параметр называется эксцентриситетом.