Метрическое пространство (X,d) — множество с расстоянием d(x,y)≥0, d(x,y)=0 ⇔ x=y, симметричностью и неравенством треугольника. Нормированное пространство: ||x|| определяет метрику d(x,y)=||x-y||. Полное пространство (Банахово) — всякая фундаментальная последовательность сходится. Основа функционального анализа. (398 символов)

Вариационное исчисление ищет экстремумы функционалов J[y] = ∫_a^b F(x,y,y') dx. Уравнение Эйлера-Лагранжа d/dx (∂F/∂y') = ∂F/∂y необходимо для стационарности. Интегралы Белтрами, инварианты, преобразования Лежандра. Основа оптимального управления. (412 символов)

Слабая сходимость x_n ⇀ x в банаховом X: ∀f∈X* → . Сильно x_n → x ⇒ слабо, но не наоборот. В рефлексивных пространствах (X**=X) шары слабо компактны (теорема Эберлейна-Шмульяна). Основа современной функциональной теории. (398 символов)