Вейвлет-Галеркинские методы: объединение МКЭ и спектрального анализа

Ограничения базисных функций в вычислительной математике

При численном решении дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП) методом Галеркина выбор базисных функций определяет успех всего алгоритма. В классическом методе конечных элементов (МКЭ) используются локальные кусочные полиномы. Они отлично подстраиваются под геометрию, но дают медленную алгебраическую сходимость. В спектральных методах используются глобальные синусоиды (ряды Фурье) или ортогональные полиномы. Они дают феноменальную экспоненциальную сходимость для гладких функций, но полностью разваливаются (порождают глобальные осцилляции Гиббса), если в решении появляется локальный разрыв, ударная волна или острый пик. Глобальный базис не умеет «фокусироваться» на локальных особенностях.

Инженерам был необходим базис, который обладал бы лучшими свойствами обоих миров: строгой ортогональностью и спектральной точностью глобальных функций, а также локальностью и компактным носителем конечных элементов. В начале 1990-х годов, на волне бурного развития теории обработки сигналов, вычислительная математика нашла идеальный инструмент — вейвлеты (маленькие волны). Использование вейвлетов в качестве пробных функций породило мощный класс алгоритмов: вейвлет-Галеркинские методы.

Многомасштабный анализ и адаптивные сетки

Фундаментальным преимуществом вейвлетов (например, вейвлетов Добеши) является их способность к многомасштабному анализу (Multiresolution Analysis, MRA). Пространство решений разбивается на иерархию подпространств с разным разрешением. Решение строится как сумма грубого (низкочастотного) приближения с помощью функций масштабирования и тонких (высокочастотных) корректировок с помощью самих вейвлетов.

Это дает алгоритму потрясающее свойство: встроенную, естественную адаптивность сетки. Алгоритм вычисляет вейвлет-коэффициенты по всей области. В тех местах, где функция гладкая (например, равномерный поток воздуха), высокочастотные вейвлет-коэффициенты оказываются практически равными нулю, и алгоритм просто удаляет их из расчета (сжимает оператор), экономя гигантские объемы памяти. Но в области ударной волны или пограничного слоя высокочастотные коэффициенты велики, и алгоритм автоматически сгущает расчет только в этой узкой зоне, не затрагивая глобальную структуру данных. При этом вейвлеты остаются строго ортогональными, что обеспечивает идеальную обусловленность матриц (в отличие от адаптивного МКЭ).

Проблема коэффициентов связи (Connection Coefficients)

Несмотря на математическую красоту, вейвлет-Галеркинские методы столкнулись со значительными трудностями при внедрении в промышленность. Главная проблема заключается в вычислении элементов матрицы жесткости. В методе Галеркина нужно брать интегралы от произведений базисных функций и их производных.

Гладкие ортогональные вейвлеты с компактным носителем (вейвлеты Добеши) не имеют аналитических формул — они задаются рекурсивными фильтрами. Соответственно, вычислить аналитически интеграл от их производной невозможно. Для решения этой проблемы была разработана теория вычисления «коэффициентов связи» (Connection coefficients) — точных значений этих интегралов через решение специальных систем алгебраических уравнений, вытекающих из свойств масштабирования. Сегодня вейвлет-методы активно применяются для моделирования турбулентности (DNS и LES), где необходимость отслеживать каскад энергии вихрей разных масштабов идеально ложится на многомасштабную физику самих вейвлетов.