Спектральный анализ временных рядов: оконное преобразование Фурье

Проблема нестационарности в цифровой обработке сигналов

Классическое преобразование Фурье (и его быстрая компьютерная реализация БПФ) является фундаментом цифровой обработки сигналов. Оно позволяет разложить любой сложный сигнал на сумму гармонических колебаний (синусоид) и получить спектр — график, показывающий, сколько энергии содержит сигнал на каждой конкретной частоте. Для стационарных сигналов, чьи частотные характеристики не меняются со временем (например, звучание камертона или шум вентилятора), этого инструмента более чем достаточно.

Однако большинство реальных сигналов в природе и технике являются нестационарными. Мелодия состоит из нот, которые звучат последовательно. Человеческая речь — это чередование согласных и гласных звуков с разным спектром. Землетрясение имеет четкое начало, фазу максимальных разрушений и затухание. Если мы применим классическое преобразование Фурье к 10-секундной аудиозаписи песни, мы получим один усредненный спектр. Этот спектр покажет нам все ноты, которые присутствовали в песне, но он абсолютно ничего не скажет о том, когда именно была сыграна каждая нота. Мы теряем информацию о времени. Для решения этой фундаментальной проблемы было изобретено Оконное преобразование Фурье (Short-Time Fourier Transform, STFT).

Скользящее окно: компромисс между временем и частотой

Идея оконного преобразования Фурье логична и проста. Вместо того чтобы анализировать весь сигнал целиком от минус бесконечности до плюс бесконечности, мы разрезаем его на короткие временные сегменты (кадры). Для этого исходный сигнал умножается на специальную функцию, называемую окном (window function), которая не равна нулю только на небольшом отрезке времени.

Затем к этому вырезанному кусочку сигнала применяется стандартное преобразование Фурье. Мы получаем спектр для этого конкретного момента времени. Затем окно сдвигается немного вправо (часто с перекрытием предыдущего кадра, чтобы избежать артефактов на краях), и процедура повторяется. В результате вместо одномерного графика спектра мы получаем двумерный массив чисел (или трехмерный график). По одной оси откладывается время, по другой — частота, а цвет или высота точки обозначает амплитуду (мощность) сигнала. Такое визуальное представление называется спектрограммой, и оно является главным инструментом фонетиков, радиотехников и звукорежиссеров.

Весовые окна и предел Габора (принцип неопределенности)

На практике просто грубо обрезать сигнал (прямоугольное окно) нельзя. Это порождает резкие скачки на краях кадра, что по законам математики приводит к размазыванию спектра (эффект спектральной утечки — spectral leakage). Поэтому инженеры используют гладкие весовые окна (окна Ханна, Хэмминга, Блэкмана), которые плавно сводят амплитуду сигнала к нулю на краях кадра, минимизируя искажения.

Однако оконное преобразование Фурье имеет жесткое физико-математическое ограничение, аналогичное квантовому принципу неопределенности Гейзенберга. Оно известно как предел Габора. Суть его в том, что мы не можем одновременно получить идеальное разрешение и по времени, и по частоте. Если мы возьмем короткое временное окно, мы будем точно знать, когда произошло событие, но спектр станет размытым (плохое частотное разрешение). Если мы возьмем длинное окно, мы получим идеальное разрешение по частоте (точно отличим близкие ноты), но размоем сигнал во времени (потеряем резкость быстрых ударов барабана). Инженеру всегда приходится искать компромисс, подбирая размер окна под конкретную задачу, что и послужило стимулом для дальнейшего развития вейвлет-анализа.