Метод сглаженных частиц (SPH): бессеточная вычислительная гидродинамика
Проблема подвижных границ и сильных деформаций в сеточных методах
Традиционная вычислительная гидродинамика (CFD) на основе метода конечных объемов или конечных элементов опирается на эйлеров подход: мы строим неподвижную сетку в пространстве и смотрим, как жидкость протекает сквозь ее ячейки. Этот подход идеален для расчета аэродинамики самолета или течения в трубе. Однако он сталкивается с колоссальными трудностями при моделировании процессов с сильной деформацией свободной поверхности: например, при ударе волны о волнолом, падении метеорита в океан, разбрызгивании металла при сварке или фрагментации планет в астрофизике.
Попытка отслеживать свободную поверхность (поверхность раздела газ-жидкость) на неподвижной сетке требует использования сложных алгоритмов типа Volume of Fluid (VOF) или Level Set, которые размазывают границу и подвержены численной диффузии. Использование же деформируемых (лагранжевых) сеток приводит к их быстрому скручиванию и вырождению ячеек, требуя постоянного, вычислительно дорогого перестроения (ремешинга). Инженеры и физики остро нуждались в методе, который вообще не зависит от геометрической сетки.
Лагранжев подход: жидкость как ансамбль частиц
В 1977 году Люси, а также Гинголд и Монаган, независимо друг от друга предложили метод сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) для решения задач астрофизики. SPH — это чисто лагранжев бессеточный метод. Среда (жидкость, газ или деформируемое твердое тело) представляется в виде набора дискретных макроскопических частиц. Каждая частица обладает фиксированной массой и несет в себе информацию о плотности, давлении, внутренней энергии и скорости.
Эти частицы не привязаны к какой-либо сетке — они свободно движутся в пространстве в соответствии с уравнениями Навье-Стокса (законами сохранения импульса и массы). Поскольку масса жестко привязана к частице, закон сохранения массы выполняется автоматически и абсолютно точно. Свободная граница жидкости определяется естественным образом — это просто внешняя граница облака частиц, что делает моделирование брызг и капель тривиальной задачей.
Ядро сглаживания и аппроксимация производных
Главный математический трюк SPH заключается в способе вычисления непрерывных полей (давления, градиентов скорости) на основе дискретных точек. Это делается с помощью операции интегральной интерполяции. Значение любой физической величины в заданной точке пространства вычисляется как взвешенная сумма значений этой величины у всех соседних частиц.
Весовые коэффициенты определяются специальной колоколообразной функцией — ядром сглаживания (Smoothing kernel). Ядро имеет радиус действия (smoothing length). Частицы, находящиеся за пределами этого радиуса, не влияют на расчет, что позволяет использовать алгоритмы быстрого поиска соседей (например, KD-деревья). Самое важное свойство SPH заключается в том, что пространственная производная от физической величины аналитически переносится на саму функцию ядра! То есть, чтобы найти градиент давления для уравнения импульса, компьютеру не нужно брать разности между частицами; он просто берет аналитическую производную от известной функции ядра. Благодаря своей гибкости метод SPH сегодня является стандартом не только в моделировании баллистики и цунами, но и в компьютерной графике для создания реалистичной воды в голливудских фильмах.
