Дискретное вейвлет-преобразование: альтернатива Фурье в анализе сигналов
Анализ сигналов: выход за пределы синусоид
На протяжении почти двух столетий непревзойденным королем спектрального анализа оставалось преобразование Фурье. Его суть заключается в разложении любого сложного сигнала на сумму бесконечных, периодических, идеально гладких синусоид и косинусоид разных частот и амплитуд. Алгоритм Быстрого Преобразования Фурье (БПФ) сделал цифровую обработку звука и изображений реальностью. Однако классическое преобразование Фурье имеет один фундаментальный недостаток: оно глобально. Синусоида длится от минус бесконечности до плюс бесконечности. Фурье-анализ идеально показывает, какие частоты присутствуют в сигнале, но он абсолютно не способен сказать, в какой именно момент времени эта частота появилась или исчезла.
Для стационарных сигналов (например, равномерного гудения трансформатора) это не проблема. Но реальные сигналы (человеческая речь, электрокардиограммы, сейсмические толчки землетрясений, финансовые графики) нестационарны. Они содержат резкие всплески, разрывы и импульсы. Попытка аппроксимировать резкий короткий импульс бесконечными синусоидами требует огромного числа высокочастотных гармоник (явление Гиббса), которые «размазываются» по всему спектру. Для решения этой проблемы математикам потребовался новый инструмент, способный локализовать сигнал не только по частоте, но и по времени.
Вейвлеты: маленькие волны с конечной энергией
Этим новым инструментом стало вейвлет-преобразование, активно развивавшееся в 1980-х годах (труды Морле, Гроссмана, Ив Мейер и Ингрид Добеши). Слово «вейвлет» (wavelet) переводится как «маленькая волна» или «всплеск». В отличие от синусоиды, вейвлет отличен от нуля только на коротком отрезке времени, а за его пределами быстро затухает до нуля.
Анализ сигнала проводится не одной базовой функцией, а целым семейством функций, которые получаются из одной исходной (материнского вейвлета) путем двух операций: масштабирования (растяжения или сжатия) и сдвига (перемещения вдоль оси времени). Сжатые, узкие вейвлеты отлично улавливают кратковременные высокочастотные импульсы и разрывы, а растянутые, широкие вейвлеты анализируют медленные, низкочастотные тренды. Таким образом, вейвлет-анализ работает как математический микроскоп с изменяющимся фокусным расстоянием: мы получаем картину с высоким разрешением по времени для быстрых процессов и с высоким разрешением по частоте для медленных процессов, оптимально обходя принцип неопределенности Гейзенберга-Габора.
Дискретное преобразование и индустриальные стандарты
На практике в вычислительной технике используется Дискретное Вейвлет-Преобразование (ДВП). В нем масштабы и сдвиги изменяются не плавно, а по степеням двойки (диадическая сетка). Алгоритм Малла (Stephane Mallat) позволил вычислять ДВП с помощью каскада цифровых фильтров: на каждом шаге сигнал пропускается через низкочастотный и высокочастотный фильтры, разделяя данные на аппроксимирующие (грубые) и детализирующие коэффициенты.
Благодаря своей способности концентрировать энергию сигнала в небольшом количестве коэффициентов (большинство коэффициентов ДВП для реальных сигналов оказываются близки к нулю), вейвлеты совершили революцию в сжатии данных. Именно вейвлет-преобразование (конкретно, вейвлеты Коэна-Добеши-Фово) лежит в основе графического стандарта JPEG 2000, обеспечивая сжатие изображений высокого разрешения без характерных для обычного JPEG раздражающих квадратных «артефактов блочности». Также вейвлеты стали золотым стандартом для очистки медицинских и акустических сигналов от шумов (алгоритмы wavelet denoising/shrinkage).
