Численные методы в задачах фильтрации: закон Дарси и уравнение Маскета

Движение флюидов в пористых средах

Добыча нефти и газа, защита подземных артезианских вод от токсичных загрязнений, расчет осадки фундаментов гидроэлектростанций — все эти важнейшие индустриальные и экологические задачи опираются на математическую теорию фильтрации. Фильтрация изучает движение жидкостей и газов (флюидов) сквозь пористые среды (пески, известняки, трещиноватые породы). В отличие от гидродинамики открытых русел, описанной сложнейшими нелинейными уравнениями Навье-Стокса, макроскопическое движение флюида в породе описывается более простым, эмпирическим законом Дарси, открытым еще в середине 19 века при исследовании работы песчаных фильтров для водоснабжения Парижа.

Закон Дарси гласит, что вектор скорости фильтрации флюида прямо пропорционален градиенту давления и обратно пропорционален вязкости флюида. Коэффициентом пропорциональности выступает проницаемость породы. Объединив закон Дарси с фундаментальным физическим законом сохранения массы, математики получают дифференциальное уравнение фильтрации. Для несжимаемой жидкости (воды) это стационарное эллиптическое уравнение Пуассона для давления. Для сжимаемых флюидов (нефти с растворенным газом) или упругих пластов возникает уравнение параболического типа (уравнение пьезопроводности или уравнение Лейбензона), описывающее перераспределение давления во времени.

Многофазная фильтрация и модель Бакли-Леверетта

Настоящая вычислительная сложность возникает, когда в пласте движутся одновременно несколько несмешивающихся жидкостей — например, вода, нефть и газ (классическая задача заводнения нефтяных пластов для поддержания пластового давления). В многофазной системе каждая жидкость имеет свою собственную (фазовую) проницаемость, которая нелинейно зависит от того, какую долю объема пор занимает эта жидкость (от ее насыщенности).

Математическая модель такого процесса (уравнения Маскета-Меренкова) состоит из системы связанных дифференциальных уравнений: эллиптического (по давлению) и гиперболического (по насыщенности). Аналитическое решение существует только для простейшего одномерного случая вытеснения нефти водой без учета капиллярных сил (модель Бакли-Леверетта). Это решение описывает формирование резкого фронта насыщенности (ударной волны), движущегося от нагнетательной скважины к добывающей. Для расчета реальных трехмерных неоднородных нефтяных месторождений требуются колоссальные вычислительные мощности и специализированные алгоритмы.

Метод IMPES: разделяй и властвуй в гидродинамике пласта

Золотым стандартом в коммерческих симуляторах резервуаров (таких как Eclipse или tNavigator) является численный алгоритм IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation — неявное давление, явная насыщенность). Идея алгоритма основана на физическом факте: давление в горных породах (звуковая волна) распространяется в тысячи раз быстрее, чем физически перемещаются фронты жидкостей (насыщенность).

Алгоритм IMPES искусственно разделяет (расщепляет) сложную систему на две независимые части. На первом микрошаге алгоритм считает насыщенности всех фаз «замороженными» (константами). Он составляет и неявно решает гигантскую СЛАУ для нахождения нового поля давлений. Так как схема неявная, она абсолютно устойчива и позволяет брать большие шаги по времени. Получив точное распределение давления (а значит, и скоростей потоков), на втором этапе алгоритм по явной формуле вычисляет перенос масс жидкостей (новые насыщенности) вдоль этих потоков. Для устойчивого расчета насыщенности критически важно использовать методы направленных разностей (Upwind schemes) с ограничителями потоков, чтобы избежать нефизичных осцилляций на фронтах вытеснения. Численное моделирование пластов (Reservoir Simulation) — это одна из тех областей, где вычислительная математика напрямую генерирует миллиардные прибыли для корпораций.