Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ)
Когда в уравнения вмешивается случайность
Классические дифференциальные уравнения детерминированы: если вы знаете точные начальные условия и уравнения движения, вы можете со 100% точностью предсказать будущее системы на любой срок. Однако в реальном мире идеальной предсказуемости не существует. На молекулу газа действуют случайные соударения теплового движения. На крыло самолета воздействует турбулентность атмосферы. На цену акции на бирже влияют миллионы непредсказуемых макроэкономических и психологических факторов. Для математического моделирования таких процессов используются стохастические дифференциальные уравнения (СДУ).
СДУ состоит из двух компонентов: детерминированного сноса (тренда), который описывает предсказуемую эволюцию системы, и стохастической диффузии (шума), которая моделирует случайные флуктуации. Источником этого шума математически выступает Винеровский процесс (или математическое броуновское движение). Главная проблема СДУ заключается в том, что траектории Винеровского процесса нигде не дифференцируемы в обычном смысле. Поэтому для СДУ не работает классический анализ Ньютона-Лейбница; вместо него применяется специализированный стохастический анализ Ито (или Стратоновича), где появляется знаменитая поправка Ито. Аналитическое решение СДУ возможно лишь для простейших линейных моделей (например, уравнение геометрического броуновского движения в модели Блэка-Шоулза). В 99% практических задач требуются численные методы.
Метод Эйлера-Маруямы: база стохастического моделирования
Самым простым и исторически первым численным методом для СДУ является схема Эйлера-Маруямы (названная в честь Леонарда Эйлера и японского математика Гисиро Маруямы). Этот метод является естественным стохастическим обобщением классического метода Эйлера для обычных ОДУ.
На каждом временном шаге мы не только сдвигаем решение вдоль вектора детерминированного тренда (умноженного на величину шага времени), но и добавляем случайный скачок. Этот скачок генерируется компьютером из нормального (гауссовского) распределения со средним нулем. Важнейшая особенность стохастического интегрирования состоит в том, что дисперсия этого случайного скачка масштабируется пропорционально не самому шагу времени, а квадратному корню из шага времени (свойство Винеровского процесса). Метод Эйлера-Маруямы крайне прост в программировании, но обладает низкой точностью (сильный порядок сходимости равен всего 0.5), что требует использования огромного количества мелких шагов для подавления погрешности.
Метод Мильштейна и сильная vs слабая сходимость
Для повышения точности интегрирования СДУ советский и немецкий математик Григорий Наумович Мильштейн предложил алгоритм, который добавляет к схеме Эйлера-Маруямы специальный поправочный член. Этот член (содержащий производную функции диффузии) выводится с использованием стохастического разложения Тейлора-Ито. Метод Мильштейна увеличивает сильный порядок сходимости до 1.0.
В стохастической вычислительной математике различают два вида точности: сильную и слабую. Сильная сходимость требуется, когда нам необходимо предельно точно смоделировать конкретную случайную траекторию частицы (например, в задачах управления траекторией ракеты в турбулентности). Слабая сходимость интересует нас тогда, когда мы не заботимся о точной траектории, а хотим правильно вычислить статистические моменты решения (математическое ожидание, дисперсию) или оценить цену опциона методом Монте-Карло. Для слабых задач методы Эйлера и Мильштейна сходятся гораздо быстрее (слабый порядок 1.0). Разработка высокоточных стохастических методов Рунге-Кутты является сложнейшей задачей современной математики из-за необходимости моделирования многомерных стохастических интегралов Ито, но они жизненно необходимы для анализа рисков в современных мировых финансах.
