Риманово многообразие — гладкое многообразие M с метрическим тензором g_{ij} в локальных координатах, определяющим длину кривых ds²=g_{ij} dx^i dx^j. Геодезические — кратчайшие пути, удовлетворяющие уравнению ∇_u u = 0. Кривизна Римана R^i_{jkl} измеряет отклонение от евклидовости. Основа современной дифференциальной геометрии. (428 символов)

Эллиптическое ДУ: ∑ ∂_i (a^{ij} ∂_j u) + b^i ∂_i u + c u = f. Регулярность: u∈H^1 ⇒ u∈C^∞ при гладких коэффициентах. Априорные оценки: ||u||_{H^{k+1}} ≤ C(||f||_{H^{k-1}} + ||u||_{L^2}). Основа теории слабых решений эллиптических задач. (398 символов)

Гиперболическая система ∂_t U + A^i ∂_i U = F гиперболична при вещественных собственных значениях A^i и полных собственных векторах. Характеристики dx/dt=λ_k — неразрывности решений. Метод характеристик, Рiemann инварианты. Основа теории ударов и нелинейных волн. (418 символа)