Численные методы в финансовой математике: опционы и модель Блэка-Шоулза
От законов теплопроводности к ценообразованию на Уолл-Стрит
В начале 1970-х годов в мировой экономике произошла революция, инициаторами которой стали не финансисты, а математики и физики. Фишер Блэк, Майрон Шоулз и Роберт Мертон разработали математическую модель оценки стоимости производных финансовых инструментов — опционов. Они показали, что эволюция цены опциона во времени при случайном блуждании цены базового актива (акции) описывается дифференциальным уравнением в частных производных (УЧП). Поразительно, но уравнение Блэка-Шоулза математически эквивалентно уравнению теплопроводности Фурье, где вместо распределения температуры ищется распределение вероятности цены, а вместо коэффициента теплопроводности выступает волатильность рынка.
Для простейших европейских опционов (которые можно исполнить только в строго определенный день в будущем) это уравнение имеет красивое точное аналитическое решение. Однако в реальности рынки торгуют экзотическими и американскими опционами (которые можно исполнить в любой момент времени до истечения срока). Для таких инструментов точных формул не существует, и задача их ценообразования полностью ложится на плечи численных методов, превратив финансовую математику в одну из самых вычислительно интенсивных отраслей науки.
Биномиальные деревья и сеточные методы
Первым и самым наглядным численным подходом к оценке опционов стала модель биномиальных (и позже триномиальных) деревьев, предложенная Коксом, Россом и Рубинштейном в 1979 году. Время до исполнения опциона разбивается на множество мелких дискретных шагов. На каждом шаге предполагается, что цена акции может либо пойти вверх (с определенной вероятностью), либо пойти вниз. В результате строится огромная древовидная структура всех возможных траекторий цены.
Вычисления начинаются с конца дерева (даты экспирации), где выплата по опциону точно известна, и путем математического ожидания с дисконтированием сворачиваются обратно к сегодняшнему дню. Этот метод прекрасно подходит для американских опционов, так как на каждом узле дерева алгоритм может проверить, не выгоднее ли исполнить опцион прямо сейчас. Для более сложных задач биномиальные деревья уступают место классическим конечно-разностным методам (метод сеток), которые мы обсуждали ранее. Уравнение Блэка-Шоулза дискретизируется с использованием неявной схемы Кранка-Николсон. Образовавшаяся при этом матрица СЛАУ является трехдиагональной и мгновенно решается методом прогонки. Комбинация этих численных алгоритмов позволяет инвестиционным банкам оценивать риски и формировать портфели в режиме реального времени, пересчитывая гигантские матрицы котировок каждую миллисекунду.