Оценка американских опционов, предоставляющих держателю право досрочного исполнения контракта в любой момент до даты экспирации, является одной из классических нерешенных задач финансовой математики. В отличие от европейских опционов, для американских (за исключением коллов на акции без дивидендов) не существует точной аналитической формулы в замкнутом виде, что делает их оценку полем битвы передовых численных методов и сложных математических аппроксимаций.

Барьерные опционы (Barrier Options) относятся к классу экзотических деривативов, выплаты по которым зависят от того, достигнет ли цена базового актива определенного уровня (барьера) в течение срока жизни контракта. Благодаря своей структуре они стоят дешевле стандартных (ванильных) опционов, что делает их крайне востребованными в корпоративном хеджировании. Однако их ценообразование требует сложного математического аппарата, учитывающего траекторную зависимость (Path-Dependency) случайного процесса.

Фундаментальное предположение формулы Блэка-Шоулза о том, что волатильность финансового актива является константой, было окончательно дискредитировано крахом фондового рынка в октябре 1987 года. С того момента рынок начал котировать опционы "вне денег" со значительной премией, породив феномен "улыбки волатильности". Модель локальной волатильности (Local Volatility), предложенная Бруно Дюпиром в 1994 году, стала изящным математическим решением проблемы: она позволила создать диффузионный процесс, который идеально и безошибочно воспроизводит все рыночные цены европейских опционов на любые страйки и экспирации.

Поиск универсальной формулы стоимости активов — центральная задача финансовой экономики. Математический аппарат ценных бумаг Эрроу-Дебре (Arrow-Debreu securities) и Стохастического дисконтирующего множителя (Stochastic Discount Factor, SDF) предоставляет самую элегантную, общую и фундаментальную теорию ценообразования, объединяющую корпоративные финансы, макроэкономику и теорию опционов в единое алгебраическое пространство.