Правила дифференцирования позволяют вычислять производные сложных функций через производные простых. Цепное правило (u(g(x)))' = u'(g(x))·g'(x) дифференцирует сложные функции, а неявное дифференцирование решает уравнения вида F(x,y)=0, находя dy/dx без явного выражения y(x). Эти методы составляют основу дифференциального исчисления. (298 символов)

Дифференциал df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy линейно аппроксимирует приращение функции. Полный дифференциал при y=y(x): df = (∂f/∂x + ∂f/∂y y') dx. Условие точности: ∂M/∂y = ∂N/∂x для M dx + N dy. Используется для интегрирования и численных методов. (378 символов)

Функция z = f(x,y) нескольких переменных дифференцируема по x при фиксированном y: ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(x+h,y)-f(x,y)]/h. Частная производная описывает скорость изменения по одной координате. Смешанные производные ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x по т. Шварца при непрерывности. (352 символа)