Вариационный исчисление: нахождение экстремумов функционалов

Вариационный исчисление ищет функции, экстремализирующие интегральные функционалы (int_a^b F(x,y,y') dx), возникающие в механике, оптике и теории управления. Метод обобщает производные второй статьи на функционалы.

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Для функционала (J[y] = int_a^b F(x,y,y') dx) уравнение Эйлера-Лагранжа (frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} frac{partial F}{partial y'} = 0) даёт стационарные функции. При (F) не зависит от (x) сохраняется (F - y' frac{partial F}{partial y'} = C). Уравнение — ДУ второго порядка, решаемое методами шестнадцатой статьи.

Геодезическая на поверхности (кратчайший путь) как решение вариационной задачи Геодезическая как решение вариационной задачи . Визуализация связывает геометрию с анализом.

Принцип наименьшего действия

В механике траектория минимизирует действие (S = int L dt), где лагранжиан (L = T - V). Для свободного частицы (L = frac{1}{2} m v^2) получаем прямолинейное движение. Принцип Ферма в оптике минимизирует время прохождения луча.

Вывод уравнений содержится в курсах MIT https://ocw.mit.edu/courses/18-100b-real-analysis-spring-2025/video_galleries/video-lectures/. Лекции доступны НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf.

Изосхематики и вариационные принципы

В гидродинамике скорость минимизирует диссипацию энергии, в электродинамике — функционал Максвелла. Метод конечных элементов дискретизирует вариационные принципы. Связь с многомерным анализом тринадцатой статьи через функционалы Дирихле.

Минимизация функционала энергии в задаче упругости дает решение уравнения Лапласа Вариационный принцип в теории упругости . График иллюстрирует приложения.

Связь с оптимизацией

Градиентный спуск для функционалов использует производные Фреше, обобщая градиент тринадцатой статьи. Метод конечных элементов решает вариационные задачи численными методами двадцать второй статьи.