На протяжении веков математики использовали различные, несовместимые друг с другом инструменты для описания пространства: скалярное произведение, векторное произведение, комплексные числа, кватернионы, матрицы Паули, матрицы Дирака и дифференциальные формы. В 1878 году английский математик Уильям Кингдон Клиффорд осознал, что все эти разрозненные элементы являются лишь частными случаями одной глобальной математической структуры. Объединив внешнюю алгебру Грассмана с внутренней алгеброй скалярных произведений, он создал Геометрическую Алгебру (Алгебру Клиффорда). Эта алгебра позволяет записывать уравнения Максвелла в электродинамике одной единственной строкой и предоставляет компьютерной графике самый мощный инструмент для описания вращений и отражений в пространствах любой размерности.

Традиционная линейная алгебра изучает функции одного векторного аргумента (линейные операторы) или двух векторных аргументов (билинейные формы). Однако современная математика и теоретическая физика требуют инструментов для работы с функциями произвольного числа векторных аргументов. Этот раздел математики называется многолинейной алгеброй. Она обобщает понятие линейности на любое количество измерений, создавая конструкции, называемые градуированными алгебрами. Через операции тензорного, симметричного и внешнего произведений многолинейная алгебра объясняет фундаментальные различия между физическими частицами, алгебраическую геометрию многочленов и топологические свойства многообразий.

Традиционная линейная алгебра концентрируется на векторах, описывающих направленные отрезки (скорости, силы). Но как математически строго описать ориентированные площади, многомерные объемы и гиперплоскости, не скатываясь в сложнейшие системы координат и матрицы Грама? В середине XIX века немецкий математик Герман Грассман создал революционную абстрактную структуру, ныне известную как внешняя алгебра (или алгебра Грассмана). Эта алгебра расширяет векторное пространство, позволяя оперировать не только одномерными векторами, но и поливекторами — геометрическими объектами высших порядков. Внешняя алгебра является математическим сердцем современной дифференциальной геометрии, теории форм Картана и калибровочной теории поля.

При изучении линейной алгебры в университете мы привыкаем, что числа внутри векторов и матриц являются вещественными или комплексными, а их количество бесконечно. Однако аксиоматика векторных пространств абсолютно не требует непрерывности. Французский математик Эварист Галуа показал, что можно строить безупречную алгебру над конечными полями (наборами, состоящими из строго ограниченного количества чисел), где операции сложения и умножения выполняются по модулю (как на циферблате часов). Векторные пространства над полями Галуа (GF) кардинально отличаются от евклидовых: в них нет понятий «больше» или «меньше», нет расстояний и углов, но именно эта дискретная линейная алгебра является математической броней современного интернета, обеспечивая работу криптографии и кодов, исправляющих ошибки.