Обычные линейные векторные пространства позволяют нам складывать векторы и умножать их на числа, но они ничего не говорят нам о геометрии: длинах векторов и углах между ними. Чтобы внедрить эти привычные геометрические понятия в абстрактную алгебру, математики ввели концепцию скалярного произведения. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется евклидовым пространством (в честь древнегреческого математика Евклида). Эта структура является важнейшим мостом между строгой алгеброй и многомерной геометрией, позволяя нам измерять расстояния и определять взаимное расположение объектов в пространствах любых размерностей, включая функциональные пространства в математическом анализе.