Геометрия Лобачевского, отрицающая Пятый постулат Евклида, долгое время оставалась абстрактной теорией. В поисках ее наглядного представления математики обращались к различным поверхностям, но подлинный аналитический триумф наступил с созданием проективной модели Бельтрами-Клейна. Феликс Клейн доказал, что неевклидову геометрию можно построить прямо на плоском листе бумаги внутри обычной окружности, используя аппарат проективной алгебры и двойных отношений. В этой модели прямые линии Лобачевского остаются абсолютно прямыми евклидовыи хордами, что делает ее идеальным инструментом для алгебраического доказательства теорем гиперболической планиметрии без искажения линейности пространства.

На протяжении столетий математики были убеждены, что одномерная кривая линия фундаментально отличается от двумерной поверхности, и кривая никогда не сможет полностью заполнить квадрат без пробелов. Это казалось аксиомой евклидовой геометрии. Однако в 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано совершил аналитическое землетрясение, доказав существование непрерывной кривой, которая проходит абсолютно через каждую точку квадрата. Кривые Пеано (и их родственники, кривые Гильберта) сломали интуитивное понимание размерности, породив фрактальную геометрию и создав математический аппарат для одномерного индексирования многомерных баз данных в современной информатике.

Аналитическая геометрия часто сталкивается с проблемой описания бесконечно удаленных точек. Обычная декартова плоскость не имеет края, что делает анализ поведения кривых «на бесконечности» крайне сложным. Стереографическая проекция предлагает элегантное геометрическое решение: она взаимно однозначно отображает всю бесконечную двумерную плоскость на поверхность компактной трехмерной сферы (проколотой в одной точке). Этот метод, известный еще Птолемею в античности для создания астролябий, сегодня является фундаментом комплексного анализа, позволяя математикам замкнуть плоскость в Сферу Римана и оперировать бесконечностью как обычной алгебраической точкой.