Теория ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна: аксиоматика рационального выбора

Теория фон Неймана-Моргенштерна опирается на четыре строгие математические аксиомы, описывающие поведение рационального субъекта (лица, принимающего решение, ЛПР). Первая аксиома — полнота предпочтений: для любых двух альтернатив (лотерей) А и Б ЛПР может четко сказать, предпочитает ли оно А, предпочитает Б, или они для него абсолютно равноценны. Вторая аксиома — транзитивность: если А лучше Б, а Б лучше В, то А гарантированно лучше В. Третья аксиома — непрерывность: если А лучше Б, а Б лучше В, то существует такая уникальная вероятность p, при которой лотерея, дающая исход А с вероятностью p и исход В с вероятностью (1-p), будет абсолютно эквивалентна гарантированному получению исхода Б. Четвертая аксиома — независимость: добавление одинакового случайного исхода к двум альтернативам не меняет первоначального порядка их предпочтения.

Математическая теорема строго доказывает, что если поведение ЛПР удовлетворяет этим четырем аксиомам, то существует такая скалярная функция u(x), называемая функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна, что выбор ЛПР между любыми стохастическими альтернативами всегда в точности совпадает с выбором альтернативы с максимальным математическим ожиданием этой функции полезности. Иными словами, иррациональное на первый взгляд человеческое поведение подчиняется строжайшим законам алгебры ожиданий, если измерять не доллары, а утилиты (единицы полезности).

Ключевым достижением теории стало математическое моделирование отношения к риску. Форма кривой функции полезности однозначно определяет психологический профиль инвестора. Если функция строго вогнута (вторая производная меньше нуля), ЛПР является противником риска (Risk Averse). Такому субъекту важна предельная полезность денег: первый заработанный миллион приносит ему гораздо больше счастья, чем второй. Противник риска всегда предпочтет гарантированно получить математическое ожидание лотереи, чем играть в саму лотерею. Разница между ожидаемым денежным выигрышем и той гарантированной суммой, на которую согласен инвестор (эквивалентом определенности), называется премией за риск (Risk Premium). Именно на вычислении этой премии строится вся мировая индустрия страхования: клиент готов заплатить страховой компании сумму, превышающую математическое ожидание ущерба, лишь бы избавиться от финансовой неопределенности.

Если функция полезности выпуклая (вторая производная больше нуля), ЛПР является искателем риска (Risk Seeker) и готов переплачивать за участие в казино или венчурных инвестициях. Если функция линейна, ЛПР нейтрально к риску и ориентируется исключительно на голые денежные расчеты (что характерно для алгоритмических торговых ботов). Сегодня теория ожидаемой полезности является ядром поведенческой экономики и корпоративного риск-менеджмента. Она позволяет совету директоров математически точно оцифровать корпоративный аппетит к риску (Risk Appetite), создав единую функцию полезности компании. Эта функция загружается в компьютерные алгоритмы стохастического программирования, которые начинают автоматически отклонять чрезмерно рискованные инвестиционные проекты, какими бы привлекательными ни казались их финансовые перспективы в отчетах.