Построение безрисковой кривой доходности (Yield Curve) — базовый шаг в любой финансовой оценке, от ипотечного кредитования до прайсинга сложных деривативов. Проблема заключается в том, что на рынке торгуется лишь конечное число облигаций (часто с купонами), а математикам нужна непрерывная кривая спот-ставок для любых сроков (теноров). Модель Нельсона-Сигеля, опубликованная в 1987 году, стала самым успешным параметрическим методом аппроксимации временной структуры процентных ставок, принятым на вооружение большинством центральных банков мира.

Классические модели прыжковой диффузии (Мертона и Ку) предполагают конечную активность скачков: цена актива движется как непрерывная диффузия, изредка прерываемая сильными разрывами. Эмпирические данные высокочастотного трейдинга опровергают этот постулат: цены испытывают бесконечное количество микроскопических скачков на любом интервале времени. Модель CGMY (Carr, Geman, Madan, Yor), представленная в 2002 году, совершила революцию, введя в финансовую практику процессы Леви с бесконечной активностью (Infinite Activity), где непрерывная диффузия полностью заменяется бесконечно плотным потоком чистых скачков.

Кредитные рейтинги, присваиваемые агентствами (S&P, Moody’s, Fitch), являются фундаментальным индикатором кредитного качества эмитентов. В финансовой математике динамика изменения рейтингов моделируется стохастическими процессами, где миграция заемщика из одного рейтингового класса в другой описывается аппаратом марковских цепей, что позволяет количественно оценивать риск снижения кредитного качества (Downgrade Risk) и строить кривые вероятности дефолта для сложных портфелей.

Аналитическое решение стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) в финансах доступно лишь для простейших моделей, таких как геометрическое броуновское движение. Для симуляции траекторий сложных процессов (например, модели стохастической волатильности Хестона) финансовые инженеры полагаются на методы численного интегрирования, базовым из которых является метод Эйлера-Маруямы (Euler-Maruyama Method), представляющий собой стохастическое обобщение классического метода Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).