Оценка опционов в модели CGMY: процессы Леви с бесконечной активностью

Математически чисто скачкообразный процесс Леви полностью задается своей мерой Леви (Lévy Measure) $ u(dx)$, которая описывает интенсивность (частоту) прибытия скачков размера $x$. Для модели CGMY плотность меры Леви задается формулой: $ u(x) = C frac{exp(-G|x|)}{|x|^{1+Y}}$ для $x < 0$ (отрицательные скачки) и $ u(x) = C frac{exp(-Mx)}{x^{1+Y}}$ для $x > 0$ (положительные скачки). Четыре параметра имеют кристально ясный финансовый смысл. $C$ (Constant) контролирует общую интенсивность (волатильность) процесса. $G$ и $M$ задают экспоненциальное затухание хвостов распределения (позволяя моделировать асимметрию, то есть "перекос" или Skew). Но главным математическим новшеством является параметр $Y$.

Параметр $Y$ определяет локальное поведение (Fine Structure) ценового процесса. Если $Y < 0$, модель имеет конечную активность и сводится к классической прыжковой модели с конечным числом скачков. Если $0 < Y < 1$, процесс обладает бесконечной активностью (бесконечно много малых скачков), но конечной вариацией. Если же $1 < Y < 2$, процесс имеет не только бесконечную активность, но и бесконечную вариацию (как у классического броуновского движения). При $Y o 2$ модель CGMY математически сходится к стандартной диффузии Блэка-Шоулза. Это делает модель CGMY универсальным инструментом, объединяющим в одной формуле дискретные скачки и непрерывную диффузию без необходимости вводить искусственный винеровский компонент.

Ценообразование деривативов в модели CGMY (и родственных ей моделях Variance Gamma) сталкивается с проблемой: плотность распределения цен в будущем неизвестна в аналитическом (закрытом) виде. Однако Характеристическая функция (преобразование Фурье плотности распределения) для модели CGMY имеет изящное аналитическое выражение. Это фундаментальное свойство открыло путь к использованию метода Карра-Мадана (Carr-Madan FFT approach). Алгоритм заключается в аналитическом выводе характеристической функции цены опциона и последующем применении Быстрого преобразования Фурье (FFT) для мгновенного вычисления целого спектра цен опционов (по всем страйкам одновременно).

Интеграция метода FFT с моделями бесконечной активности произвела фурор на Уолл-Стрит. Алгоритм Карра-Мадана позволяет вычислять цены сотен опционов за миллисекунды, что критически важно для калибровки сложных моделей Леви по рыночной поверхности волатильности (Volatility Surface). Математика CGMY доказала, что финансовые рынки лучше описываются процессами чистого скачка, где микроструктурный шум и макроэкономические шоки являются лишь проявлениями одной и той же фрактальной природы разрывов ликвидности.

Список литературы:
1. Carr P., Geman H., Madan D.B., Yor M. The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation. — Journal of Business, 2002.
2. Carr P., Madan D. Option valuation using the fast Fourier transform. — Journal of Computational Finance, 1999.
3. Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. — CRC Press, 2003.
Эксперты: Питер Карр, Эли Жермен, Дилип Мадан, Марк Йор.