Классический метод сопряженных градиентов (CG) является венцом итерационных методов, но у него есть фатальное ограничение: он работает исключительно для симметричных положительно определенных матриц. Если матрица симметрична, но является неопределенной (имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения), метод CG разрушается из-за деления на ноль. В 1975 году Кристофер Пейдж и Майкл Сондерс разработали два шедевральных алгоритма — MINRES (Minimal Residual) и SYMMLQ, которые решили эту проблему. Эти методы сохраняют феноменальную экономичность памяти метода сопряженных градиентов, но при этом гарантированно сходятся для абсолютно любых (в том числе невырожденных неопределенных) симметричных систем огромных размеров.

В абстрактной алгебре теория представлений изучает способы воплощения абстрактных алгебраических структур (таких как группы, кольца или алгебры Ли) в виде конкретных матриц и линейных операторов. Иными словами, эта теория позволяет перевести сложные аксиоматические симметрии на простой и понятный язык линейной алгебры. Сердцем всей этой грандиозной теории является скромная на вид, но невероятно могущественная Лемма Шура, доказанная Исаем Шуром в 1905 году. Эта лемма накладывает жесткие алгебраические ограничения на то, как могут взаимодействовать между собой простейшие (неприводимые) строительные блоки любых симметричных физических или математических систем.

Математические модели физических процессов никогда не бывают абсолютно точными. Матрицы, описывающие квантовые гамильтонианы или графы инженерных сетей, всегда содержат погрешности: ошибки измерений приборов, неточности констант или аппаратный шум плавающей запятой процессора. Возникает критически важный вопрос: если мы немного изменим элементы матрицы (добавим шум), насколько сильно сместятся ее собственные значения (спектр)? Не развалится ли мост из-за ошибки датчика в 1%? Немецкий математик и физик-теоретик Герман Вейль ответил на этот вопрос, доказав серию жестких алгебраических неравенств для эрмитовых (симметричных) матриц. Неравенства Вейля гарантируют непрерывность и предсказуемость спектра в условиях хаоса.