Кривые Безье произвели революцию в компьютерном дизайне, но они обладали двумя существенными недостатками: изменением положения одной контрольной точки деформировалась вся кривая целиком (отсутствие локального контроля), а степень полинома жестко привязывалась к количеству опорных точек. Для решения этих проблем математики разработали базисные сплайны (B-сплайны) и их венец — неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS). Сегодня алгоритмы NURBS являются абсолютным мировым стандартом в аналитической геометрии систем автоматизированного проектирования (CAD), позволяя с идеальной точностью описывать как свободные органические формы, так и строгие геометрические примитивы.

Аналитическая геометрия классически изучает кривые через их локальные свойства: касательные, фокусы и кривизну. Однако при переходе к комплексным числам плоские алгебраические кривые раскрывают свою истинную, глобальную топологическую природу. Каждая алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости в действительности представляет собой замкнутую двумерную поверхность в четырехмерном пространстве (Риманову поверхность). Топология таких поверхностей полностью описывается одним единственным целым числом — родом (количеством «дыр» или «ручек»). Анализ связи между алгебраической степенью многочлена кривой и ее топологическим родом является одной из величайших вершин математики.

Сколько общих точек могут иметь две геометрические кривые? Для двух прямых ответ прост — одна. Для окружности и прямой — две. Но что произойдет, если мы будем пересекать кривые пятого и седьмого порядков? Французский математик Этьен Безу в конце XVIII века доказал фундаментальную теорему, которая стала краеугольным камнем алгебраической геометрии. Теорема Безу переводит топологическую задачу пересечения линий на язык строгой алгебры многочленов, задавая абсолютный верхний предел количества точек столкновения. Этот математический аппарат лежит в основе современной эллиптической криптографии и алгоритмов поиска столкновений сложных объектов в компьютерных симуляциях.