Моделирование эпидемий и пандемий в актуарной науке: модели SIR и SEIR
Глобальные пандемии представляют собой один из наиболее разрушительных системных рисков для портфелей страхования жизни и добровольного медицинского страхования (ДМС). В отличие от обычных стохастических флуктуаций смертности, пандемический шок нарушает фундаментальный принцип независимости рисков: миллионы людей заболевают и умирают одновременно, что может привести к исчерпанию капитала страховщика. Для квантификации эпидемиологических шоков и расчета капитала под катастрофические риски актуарная математика обращается к компартментальным моделям динамики инфекционных заболеваний, наиболее известными из которых являются системы дифференциальных уравнений SIR и SEIR.
Компартментальная модель SIR (Susceptible-Infectious-Recovered), предложенная Кермаком и Маккендриком в 1927 году, разбивает всю популяцию застрахованных лиц на три взаимоисключающих класса (компартмента). S (Susceptible) — это восприимчивые лица, которые еще не болели и могут заразиться. I (Infectious) — инфицированные лица, активно распространяющие вирус. R (Recovered/Removed) — лица, которые выздоровели (и получили иммунитет) или умерли, тем самым выбыв из цепочки передачи. Переход людей между этими группами описывается строгой системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE). Скорость убывания группы S прямо пропорциональна числу контактов между здоровыми и больными людьми (произведению S на I) и константе скорости передачи инфекции (бета).
Критическим математическим параметром любой модели эпидемии является Базовое репродуктивное число (R0). В рамках модели SIR число R0 алгебраически выражается как отношение скорости передачи инфекции (бета) к скорости выздоровления или изоляции (гамма). R0 показывает, сколько новых случаев заражения в среднем генерирует один инфицированный индивид в полностью восприимчивой популяции. Если R0 строго больше единицы, система дифференциальных уравнений гарантирует экспоненциальный взрыв — начало эпидемии. Если R0 меньше единицы, вирус затухает сам по себе. Актуарии используют эти параметры для стресс-тестирования: в сценариях Solvency II пандемический шок часто моделируется как внезапный рост смертности на 1,5 промилле (0,15%), что эквивалентно тяжелой глобальной вспышке, моделируемой через кривые SIR.
Для вирусов, имеющих длительный инкубационный период, базовая модель SIR расширяется до модели SEIR. В нее добавляется компартмент E (Exposed) — люди, которые уже инфицированы, но еще не заразны для окружающих. Это математическое дополнение вводит эффект запаздывания (Time Lag) в дифференциальные уравнения, что критически важно для медицинского страхования. Актуарии ДМС используют модель SEIR для прогнозирования пиковых нагрузок на госпитали. Зная скорость перехода из E в I и долю госпитализаций, страховщик может с высокой точностью рассчитать требуемые резервы ликвидности для оплаты счетов из реанимаций (ICU) через две или три недели после начала взрывного роста заражений.
В современной актуарной практике детерминированные дифференциальные уравнения заменяются Стохастическими моделями SEIR (на базе цепей Маркова с непрерывным временем). Это позволяет учесть демографический шум и эффект малых чисел в узких региональных портфелях. Кроме того, актуарии моделируют влияние эпидемий на аннуитетные (пенсионные) портфели. Парадокс пандемий заключается в том, что шок смертности (убыток для страхования жизни) одновременно является источником колоссальной финансовой прибыли для пенсионных фондов (так как выплаты прекращаются раньше срока). Этот эффект естественного хеджирования (Natural Hedging) тщательно высчитывается с помощью компартментальных моделей, позволяя финансовым группам оптимизировать структуру капитала и выпускать пандемические катастрофические облигации (Pandemic Cat Bonds) для передачи избыточного риска на мировые рынки капитала.
