Коммутационные числа и их применение в актуарных расчетах

До наступления эры электронно-вычислительных машин расчет даже самого простого полиса страхования жизни требовал невероятных ручных вычислений. Чтобы рассчитать единовременную премию для пожизненной ренты (аннуитета) для 30-летнего клиента, актуарию пришлось бы вручную перемножить вероятность дожития до 31 года на дисконт одного года, прибавить вероятность дожития до 32 лет, умноженную на дисконт двух лет, и так далее, суммируя сотни дробей вплоть до 100 лет. Для оптимизации этого утомительного и подверженного арифметическим ошибкам процесса Иоганн Тетенс в XVIII веке изобрел систему коммутационных функций (Commutation Columns). Идея заключалась в том, чтобы один раз выполнить все тяжелые умножения для каждого возраста, свести результаты в стандартную унифицированную таблицу, а затем рассчитывать любые тарифы простым делением двух чисел из этой таблицы.

Фундаментом всей коммутационной системы является функция D_x. Она вычисляется как произведение количества доживших до точного возраста x (взятого из таблицы смертности, l_x) на фактор дисконтирования за x лет (v^x, где v = 1 / (1 + i), а i — техническая процентная ставка). Эта функция объединяет демографию и экономику в один скаляр. Если мы хотим рассчитать ожидаемую текущую стоимость 1 доллара, который будет выплачен человеку возраста x при условии его дожития до возраста x+t (чистый эндоумент), формула становится поразительно простой: достаточно взять значение коммутационной функции D для возраста (x+t) и разделить его на значение D для начального возраста x (D_{x+t} / D_x). Вся магия дисконтирования и условных вероятностей уже зашита внутри этих двух табличных констант.

Для расчетов регулярных платежей (аннуитетов) актуарии ввели следующую функцию — N_x. Функция N_x представляет собой кумулятивную (накопленную) сумму всех значений D_t, начиная от текущего возраста x и заканчивая предельным возрастом таблицы смертности омега. С помощью функции N_x расчет единовременной стоимости пожизненного пренумерандо-аннуитета в размере 1 доллара в год (выплачиваемого, пока человек жив) сводится к элементарной дроби: N_x / D_x. Если клиент оформляет временную пенсию, которая будет выплачиваться только в течение n лет (или до смерти, если она наступит раньше), формула слегка модифицируется: (N_x - N_{x+n}) / D_x. Разница двух кумулятивных функций в числителе математически отсекает все выплаты, которые могли бы произойти после окончания срока договора, избавляя актуария от необходимости суммировать временные ряды вручную.

Параллельно с функциями дожития D и N, была разработана зеркальная система коммутационных чисел для расчетов на случай смерти (страхование жизни). Базовой функцией здесь выступает C_x, которая вычисляется как произведение числа умерших в возрасте x (d_x) на фактор дисконтирования за (x+1) лет (так как в традиционной актуарной нотации выплата по смерти математически приурочивается к концу года смерти). Аналогично функции N, была введена кумулятивная функция M_x, равная сумме всех значений C_t от возраста x до конца таблицы. С помощью функции M_x единовременная нетто-премия по договору пожизненного страхования жизни (Whole Life Insurance) на сумму 1 доллар рассчитывается как M_x / D_x. Расчет классического смешанного страхования (Endowment), включающего и выплату по смерти, и выплату по дожитию, сводится к формуле (M_x - M_{x+n} + D_{x+n}) / D_x. Несмотря на развитие стохастического моделирования, эта алгебраическая система до сих пор преподается в институтах актуариев (IFoA, SOA) как высший образец математической симметрии и финансовой логики.