Многочлены: корни, теорема Виета и Безу
Многочлены — фундаментальный объект алгебры. Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на (x-a) равен P(a). Следствие: число a является корнем тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x-a) без остатка.
Теорема Виета связывает корни многочлена с его коэффициентами. Для квадратного уравнения ax^2+bx+c=0: x1+x2 = -b/a, x1*x2 = c/a. Для кубических уравнений и высших степеней формулы аналогичны и следуют из раскрытия скобок в разложении на множители.
Схема Горнера позволяет эффективно делить многочлены и находить их значения. Важные свойства многочленов с целыми коэффициентами часто используются в задачах теории чисел. Например, P(a) - P(b) всегда делится на a - b.
Разложение на множители — мощный метод решения уравнений. Иногда для этого нужно добавить и вычесть слагаемое, применить формулы сокращенного умножения или сделать замену переменной.
