На протяжении веков математики использовали различные, несовместимые друг с другом инструменты для описания пространства: скалярное произведение, векторное произведение, комплексные числа, кватернионы, матрицы Паули, матрицы Дирака и дифференциальные формы. В 1878 году английский математик Уильям Кингдон Клиффорд осознал, что все эти разрозненные элементы являются лишь частными случаями одной глобальной математической структуры. Объединив внешнюю алгебру Грассмана с внутренней алгеброй скалярных произведений, он создал Геометрическую Алгебру (Алгебру Клиффорда). Эта алгебра позволяет записывать уравнения Максвелла в электродинамике одной единственной строкой и предоставляет компьютерной графике самый мощный инструмент для описания вращений и отражений в пространствах любой размерности.

В классическом евклидовом пространстве расстояние между точками измеряется с помощью теоремы Пифагора, что математически эквивалентно использованию единичной матрицы в квадратичной форме. Однако в статистике и машинном обучении данные часто имеют сложную структуру: переменные имеют разный масштаб (например, рост в метрах и вес в граммах) и сильно коррелируют друг с другом (высокие люди обычно весят больше). Использование обычного евклидова расстояния для поиска аномалий или кластеризации таких данных приведет к катастрофическим ошибкам. Индийский статистик Прасанта Чандра Махаланобис решил эту проблему, внедрив в формулу расстояния обратную ковариационную матрицу. Метрика Махаланобиса превращает облако зависимых вероятностей в идеально круглое, симметричное пространство.

Одной из самых коммерчески успешных задач прикладной линейной алгебры стало создание коллаборативных рекомендательных систем. В 2006 году компания Netflix объявила конкурс с призом в миллион долларов за улучшение алгоритма предсказания оценок фильмов. Победителем стал подход, основанный на матричной факторизации (Matrix Factorization). Суть проблемы заключается в том, что имеется гигантская матрица «пользователь-фильм», где строки — это миллионы пользователей, столбцы — десятки тысяч фильмов, а на пересечениях стоят оценки. Эта матрица колоссально разрежена: 99% ячеек пусты, так как человек смотрит лишь крошечную долю фильмов. Классическое сингулярное разложение (SVD) здесь неприменимо из-за пустых ячеек, поэтому математикам пришлось разработать новый алгебраический аппарат скрытых факторов.