На протяжении столетий математики были убеждены, что одномерная кривая линия фундаментально отличается от двумерной поверхности, и кривая никогда не сможет полностью заполнить квадрат без пробелов. Это казалось аксиомой евклидовой геометрии. Однако в 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано совершил аналитическое землетрясение, доказав существование непрерывной кривой, которая проходит абсолютно через каждую точку квадрата. Кривые Пеано (и их родственники, кривые Гильберта) сломали интуитивное понимание размерности, породив фрактальную геометрию и создав математический аппарат для одномерного индексирования многомерных баз данных в современной информатике.

Традиционная аналитическая геометрия описывает гладкие, идеально ровные объекты: прямые, плоскости, эллипсоиды. Однако природные структуры — облака, береговые линии, кроны деревьев и горные хребты — имеют принципиально иную топологию. Они изломаны, шероховаты и обладают свойством самоподобия (каждый фрагмент объекта при увеличении выглядит как уменьшенная копия всего объекта). Для математического описания таких структур Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала. Одним из самых мощных методов генерации и анализа детерминированных фракталов в аналитической геометрии является применение Систем Итерируемых Функций (Iterated Function Systems, IFS), опирающихся на алгебру сжимающих аффинных преобразований.