Аналитическая геометрия классически изучает кривые через их локальные свойства: касательные, фокусы и кривизну. Однако при переходе к комплексным числам плоские алгебраические кривые раскрывают свою истинную, глобальную топологическую природу. Каждая алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости в действительности представляет собой замкнутую двумерную поверхность в четырехмерном пространстве (Риманову поверхность). Топология таких поверхностей полностью описывается одним единственным целым числом — родом (количеством «дыр» или «ручек»). Анализ связи между алгебраической степенью многочлена кривой и ее топологическим родом является одной из величайших вершин математики.