В линейной алгебре большинство теорем о спектрах матриц (собственных значениях) опираются на их симметрию, ортогональность или вырожденность. Однако в начале XX века математики Оскар Перрон и Фердинанд Фробениус доказали удивительную теорему, опирающуюся исключительно на знаки элементов матрицы. Теорема Перрона-Фробениуса описывает свойства матриц, все элементы которых строго положительны (или неотрицательны). Эта теорема стала настоящим подарком для прикладных наук. Без нее невозможно было бы доказать сходимость алгоритма Google PageRank, рассчитывать стационарные распределения в марковских случайных цепях, анализировать демографические модели роста популяций и балансировать макроэкономические модели межотраслевого баланса.

Когда мы стоим на улице в солнечный день, мы отбрасываем тень на асфальт. Тень — это двумерная проекция нашего трехмерного тела на плоскость. В линейной алгебре эта физическая аналогия доведена до математического абсолюта с помощью проекционных матриц (проекторов). Линейный оператор проектирования берет вектор из пространства высокой размерности и жестко «прибивает» его к определенному подпространству (линии, плоскости, гиперплоскости), отсекая всю лишнюю информацию. Проекторы являются важнейшим инструментом в компьютерной 3D-графике (отвечая за рендеринг сцены на плоском экране монитора), в теории обработки сигналов и, конечно, в методе наименьших квадратов, где они помогают находить оптимальные приближения.

Когда размерность систем линейных уравнений переваливает за тысячи и миллионы неизвестных, прямое применение стандартных матричных алгоритмов становится невозможным даже для современных суперкомпьютеров: данные просто не помещаются в кэш-память процессора. В таких случаях на помощь приходит стратегия «разделяй и властвуй» (divide and conquer), реализуемая в линейной алгебре через аппарат блочных (клеточных) матриц. Блочная матрица — это обычная матрица, разрезанная горизонтальными и вертикальными линиями на подматрицы меньшего размера (блоки). Работа с такими блоками как с едиными математическими объектами позволяет кардинально ускорить вычисления, оптимизировать использование памяти и аналитически обращать огромные матрицы с помощью знаменитой формулы Фробениуса.

Симметричные матрицы (у которых элементы симметричны относительно главной диагонали, A = A^T) встречаются в математике и физике повсеместно. Они описывают тензоры инерции твердых тел, матрицы напряжений в сопромате, матрицы ковариации в статистике и гамильтонианы в квантовой механике. Столь широкое распространение не случайно: симметричные матрицы обладают невероятно удобными и «красивыми» математическими свойствами, которые объединяются в одну из самых важных теорем всей линейной алгебры — Спектральную теорему. Эта теорема утверждает, что геометрия любого преобразования, заданного симметричной матрицей, сводится к простому масштабированию (растяжению или сжатию) вдоль взаимно перпендикулярных осей.