Аналитическая геометрия пространственных кривых, заданных параметрическими уравнениями, неразрывно связана с дифференциальным исчислением и понятием локального базиса. В отличие от глобальной декартовой системы координат, оси которой неподвижны, локальный репер Френе-Серре «путешествует» в пространстве вместе с точкой по самой кривой, непрерывно адаптируясь к ее изгибам и закручиваниям. Эта подвижная система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных ортов (касательного, нормали и бинормали), позволяет физикам и инженерам строго алгебраически описывать кинематику движения американских горок, спиралей ДНК и траектории полета баллистических ракет.

Одной из самых захватывающих и сложных задач аналитической геометрии является описание кривых (линий) в трехмерном пространстве. Если на плоскости кривая задается одним уравнением $F(x, y) = 0$, то в трехмерном мире одно уравнение $F(x, y, z) = 0$ всегда описывает поверхность (например, сферу или плоскость). Как же алгебраически задать бесконечно тонкую извилистую нить, летящую сквозь объем пространства? Аналитическая геометрия предлагает два изящных подхода: рассматривать кривую как линию пересечения двух различных поверхностей, либо использовать векторные параметрические уравнения. Эти методы жизненно необходимы в инженерии для расчета пересечения трубопроводов, траекторий резания станков с ЧПУ и моделирования стыков архитектурных конструкций.