Взаимодействие света с зеркалами, обтекание корпусов аэрокосмических аппаратов и расчет прочности сосудов высокого давления требуют точного математического знания геометрии касательных плоскостей и векторов нормалей. В аналитической геометрии для поверхностей второго порядка (эллипсоидов, конусов, гиперболоидов) уравнения касательных выводятся без использования сложного аппарата дифференциальных уравнений и предельных переходов. Благодаря строгой алгебраической симметрии квадратичных форм, уравнение касательной плоскости в любой точке поверхности можно получить мгновенно с помощью элегантного правила поляризации, которое устанавливает прямую связь между формой поверхности и направлением градиента.