Сингулярное разложение (SVD) является вершиной анализа двумерных матриц, позволяя находить скрытые факторы и сжимать данные. Но что делать, когда данные имеют более двух измерений? Например, видео (ширина, высота, время), цветные медицинские МРТ-сканы (X, Y, Z) или данные социальных сетей (пользователь, действие, контекст, время). Такие многомерные массивы описываются тензорами высоких рангов. Попытка сплющить тензор в обычную матрицу (матрицизация) приводит к колоссальной потере структурной информации. Для полноценного анализа многомерных данных математики обобщили SVD на многомерный случай, создав два фундаментальных метода: разложение CP (CANDECOMP/PARAFAC) и разложение Таккера. Эти алгоритмы лежат в основе современных рекомендательных систем и хемометрики.

По мере углубления в линейную алгебру и смежные дисциплины, такие как дифференциальная геометрия или теоретическая физика, понятий классических векторов и матриц становится недостаточно. Для описания сложных многомерных зависимостей, которые не меняют своей физической или геометрической сути при смене системы координат, математики ввели понятие тензора. Если скаляр — это тензор нулевого ранга (просто число), вектор — тензор первого ранга (одномерный массив), а матрица — тензор второго ранга (двумерная таблица), то тензоры высших рангов представляют собой многомерные структуры данных. Изучение тензорного исчисления необходимо для понимания общей теории относительности Эйнштейна, механики сплошных сред и современной архитектуры глубоких нейронных сетей.