Стандартная спектральная задача линейной алгебры (нахождение собственных векторов и собственных значений) формулируется уравнением AX = lambda * X. Это уравнение предполагает, что оператор A действует на вектор в стандартном евклидовом пространстве с единичной метрикой. Однако в реальных физических задачах — от расчета собственных частот вибрации зданий при землетрясениях до квантово-механических орбиталей молекул — пространство деформировано массой или другими физическими параметрами. В таких случаях возникает обобщенная задача на собственные значения вида AX = lambda * BX, где B — вторая матрица, задающая метрику или инерционные свойства исследуемой системы.

Мы знаем, что многие квадратные матрицы можно привести к диагональному виду, что радикально упрощает вычисление их степеней и экспонент. Однако в линейной алгебре существует целый класс матриц, для которых диагонализация принципиально невозможна из-за нехватки линейно независимых собственных векторов. Такие матрицы называются дефектными. Для них французский математик Камиль Жордан разработал канонический вид, который является максимально близким к диагональному — Жорданову нормальную форму. Изучение жордановых форм позволяет решать сложные системы линейных дифференциальных уравнений с кратными корнями характеристического уравнения и глубоко понимать резонансные явления в динамических системах.