Расширяя понятие касательной прямой на трехмерное пространство, аналитическая геометрия вводит концепцию касательной плоскости к криволинейной поверхности. Если мы выберем на поверхности точку и проведем через нее все возможные гладкие кривые, лежащие на этой поверхности, то касательные ко всем этим кривым в данной точке сольются в единую идеально ровную плоскость. Способность аналитически находить уравнение этой касательной плоскости и вектор перпендикулярной к ней нормали является фундаментом дифференциальной геометрии. Эти формулы жизненно необходимы в аэродинамике для расчета обтекания крыла воздухом, в 3D-моделировании для настройки реалистичного освещения и в теории оптимизации для градиентного спуска по нелинейным рельефам.