Когда мы переходим от изучения отдельных поверхностей к анализу свойств всего пространства как единого целого (например, при моделировании формы Вселенной), математики фокусируются на пространствах с максимальной симметрией. Пространства, в которых нет выделенных «особых» точек, а геометрия в каждой точке абсолютно идентична геометрии в любой другой точке, называются гомогенными (однородными) многообразиями. Аналитическая дифференциальная геометрия строго доказывает, что в трехмерном мире существует всего три фундаментальных типа изотропных пространств постоянной Гауссовой кривизны: плоское евклидово пространство, гиперболическая геометрия Лобачевского и сферическая геометрия Римана.

Геометрия Лобачевского, отрицающая Пятый постулат Евклида, долгое время оставалась абстрактной теорией. В поисках ее наглядного представления математики обращались к различным поверхностям, но подлинный аналитический триумф наступил с созданием проективной модели Бельтрами-Клейна. Феликс Клейн доказал, что неевклидову геометрию можно построить прямо на плоском листе бумаги внутри обычной окружности, используя аппарат проективной алгебры и двойных отношений. В этой модели прямые линии Лобачевского остаются абсолютно прямыми евклидовыи хордами, что делает ее идеальным инструментом для алгебраического доказательства теорем гиперболической планиметрии без искажения линейности пространства.

На протяжении тысячелетий пятый постулат Евклида о параллельных прямых считался незыблемой истиной. Однако в XIX веке Николай Лобачевский доказал возможность существования совершенно иной, непротиворечивой геометрии, в которой через точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Сначала эти идеи казались абстрактной фантазией, но позже математики Эудженио Бельтрами, Феликс Клейн и Анри Пуанкаре создали строгие аналитические модели, которые позволили визуализировать и изучать геометрию Лобачевского методами классической Декартовой алгебры. Модель диска Пуанкаре переводит парадоксальную геометрию отрицательной кривизны на язык евклидовых окружностей внутри единичного круга.