Когда мы переходим от школьной ньютоновской физики к серьезной теоретической механике и теории струн, на смену обычным векторам скоростей и ускорений приходит концепция фазового пространства. Состояние любой системы описывается не только координатами (положением), но и сопряженными им импульсами. Эта неразрывная парность координат и импульсов порождает совершенно уникальный вид геометрии, который нельзя описать привычным скалярным произведением и матрицами Грама. Возникает симплектическая геометрия — раздел математики, в котором линейная алгебра работает с кососимметричными матрицами. Изучение симплектических пространств позволяет предсказывать орбиты планет, сохранять объемы фазовой жидкости в статистической физике и создавать сверхточные алгоритмы численного интегрирования.