Алгоритмы Ланцоша и Арнольди великолепно справляются с нахождением крайних (самых больших или самых маленьких) собственных значений гигантских разреженных матриц. Однако в физике твердого тела, фотонике и квантовой химии инженерам часто требуется найти собственные значения, спрятанные глубоко внутри спектра (вблизи заданного пользователем значения). Классические методы в подпространствах Крылова для этой задачи сходятся катастрофически медленно. В 1996 году голландские математики Герард Слейпен и Хенк ван дер Ворст совершили прорыв, объединив старинный метод диагонализации Якоби с алгоритмом подпространств Дэвидсона. Так родился метод Якоби-Дэвидсона — невероятно гибкий алгоритм, позволяющий целенаправленно извлекать резонансные частоты из самого центра матричного спектра.

Когда перед инженерами или физиками встает задача найти собственные значения плотных или разреженных матриц размерностью в миллионы строк (например, при расчете вибраций фюзеляжа самолета, спектра графов социальных сетей или анализе гидродинамической устойчивости), классические прямые методы, такие как QR-алгоритм, становятся абсолютно неприменимыми из-за кубической вычислительной сложности и нехватки оперативной памяти. Для решения задач такого колоссального масштаба американский математик Уолтер Арнольди в 1951 году разработал итерационный метод, который элегантно сводит гигантскую несимметричную матрицу к компактной матрице верхней формы Хессенберга. Сегодня алгоритм Арнольди является стандартом де-факто для извлечения доминирующих участков спектра сверхбольших систем.