Аналитическая геометрия часто сталкивается с проблемой описания бесконечно удаленных точек. Обычная декартова плоскость не имеет края, что делает анализ поведения кривых «на бесконечности» крайне сложным. Стереографическая проекция предлагает элегантное геометрическое решение: она взаимно однозначно отображает всю бесконечную двумерную плоскость на поверхность компактной трехмерной сферы (проколотой в одной точке). Этот метод, известный еще Птолемею в античности для создания астролябий, сегодня является фундаментом комплексного анализа, позволяя математикам замкнуть плоскость в Сферу Римана и оперировать бесконечностью как обычной алгебраической точкой.

Инверсия (симметрия относительно окружности) — это одно из самых удивительных и контринтуитивных преобразований в аналитической геометрии. В отличие от классических аффинных преобразований (параллельных сдвигов, вращений и масштабирований), которые линейны и сохраняют прямые линии прямыми, инверсия является нелинейным преобразованием, которое выворачивает геометрическое пространство наизнанку. Она берет всю внутренность базовой окружности и бесконечно растягивает ее на всю внешнюю плоскость, а всю бесконечную внешнюю область «сжимает» внутрь этого крошечного круга. Аналитическое описание этого преобразования позволяет доказывать сложнейшие топологические теоремы, переводя сложные криволинейные задачи на язык пересечения прямых линий.