Любая центральная поверхность второго порядка, будь то эллипсоид или гиперболоид, обладает природными осями симметрии. Однако если эта поверхность расположена в пространстве произвольным образом (повернута относительно осей координат), ее уравнение содержит сложные перекрестные члены xy, xz и yz. Интуитивно распознать ориентацию такой поверхности невозможно. Поиск главных направлений (главных осей симметрии) является одной из самых важных и математически глубоких задач аналитической геометрии. Эта задача изящно решается методами спектральной линейной алгебры — через поиск собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы старшей квадратичной формы. Определение главных направлений позволяет инженерам находить главные оси инерции твердых тел и тензоры напряжений в балках.