Геометрия Лобачевского, отрицающая Пятый постулат Евклида, долгое время оставалась абстрактной теорией. В поисках ее наглядного представления математики обращались к различным поверхностям, но подлинный аналитический триумф наступил с созданием проективной модели Бельтрами-Клейна. Феликс Клейн доказал, что неевклидову геометрию можно построить прямо на плоском листе бумаги внутри обычной окружности, используя аппарат проективной алгебры и двойных отношений. В этой модели прямые линии Лобачевского остаются абсолютно прямыми евклидовыи хордами, что делает ее идеальным инструментом для алгебраического доказательства теорем гиперболической планиметрии без искажения линейности пространства.