В 1965 году выдающийся экономист Пол Самуэльсон предложил математическую модель динамики цен на акции, которая навсегда изменила ландшафт количественных финансов. Взяв за основу пионерские, но забытые на полвека работы Луи Башелье, Самуэльсон исправил их фундаментальный математический изъян, введя в финансовую науку понятие Геометрического броуновского движения (Geometric Brownian Motion, GBM), ставшего абсолютным стандартом в теории ценообразования деривативов.

Фундаментальным триумфом теории Блэка-Шоулза стало доказательство возможности совершенного (perfect) хеджирования: любой производный инструмент может быть идеально синтезирован (реплицирован) через непрерывную торговлю базовым активом и безрисковой облигацией. Однако этот результат опирается на строгую математическую гипотезу полноты рынка (Complete Market). В реальности финансовые рынки неполны: присутствуют скачки цен (jumps), стохастическая волатильность, дискретное время торгов и транзакционные издержки. В условиях неполного рынка идеальное хеджирование невозможно, и финансовая математика предлагает мощный аппарат мартингального хеджирования для минимизации остаточного риска.

Структурная модель кредитного риска, разработанная нобелевским лауреатом Робертом Мертоном в 1974 году, произвела концептуальный переворот в корпоративных финансах. Она впервые применила математический аппарат ценообразования опционов Блэка-Шоулза к оценке корпоративного долга и вероятности дефолта компании, установив жесткую математическую связь между стоимостью активов компании, структурой ее капитала и кредитным спредом ее облигаций.

Скрытые марковские модели (Hidden Markov Models, HMM) представляют собой мощнейший инструмент статистического обучения в финансовой математике, предназначенный для моделирования и прогнозирования ненаблюдаемых (скрытых) рыночных режимов на основе наблюдаемых данных, таких как цены активов и объемы торгов. В отличие от линейных моделей временных рядов, HMM способны улавливать резкие структурные сдвиги на финансовых рынках, переходы от фазы стабильного роста к фазам турбулентности и кризисов.