Среди всех разреженных матриц линейной алгебры существует класс с абсолютно исключительной и элегантной структурой — трехдиагональные матрицы. У этих матриц ненулевые элементы располагаются исключительно на главной диагонали и на двух соседних побочных диагоналях (чуть выше и чуть ниже главной), образуя узкую ленту. Вне этой ленты стоят строгие нули. Трехдиагональные матрицы возникают повсеместно: при численном решении дифференциальных уравнений методом конечных разностей (например, уравнения теплопроводности для одномерного стержня), в квантовой механике (одномерные решетки) и в алгоритмах Ланцоша. Изучение их алгебраических свойств раскрывает удивительную связь между матрицами и классической теорией ортогональных многочленов (полиномов).