Ортогональные многочлены (Лежандр, Чебышёв, Лагерр) образуют полные системы для разложения функций на конечных интервалах. Метод обобщает ряды Фурье восемнадцатой статьи и интерполяцию Лагранжа девятнадцатой статьи.

Хвостовые риски — это вероятность возникновения редких, но катастрофически масштабных событий, которые способны привести к значительным финансовым потерям. Стандартные методы статистики, основанные на нормальном распределении, систематически недооценивают такие риски из-за тонкости хвостов нормального закона. Для корректной оценки необходимо использование теории экстремальных значений (EVT), которая специализируется на описании поведения данных в "хвостах", обеспечивая математически обоснованный подход к расчету капитала на случай катастроф.

Успешность страховой компании на рынке рискового страхования (ОСАГО, имущество, грузы) измеряется не объемом собранных денег, а эффективностью андеррайтинга. В отличие от производственного сектора, где себестоимость товара известна до его продажи, страховщик узнает реальную "себестоимость" своих полисов лишь спустя годы, когда будут закрыты все судебные иски. Для оперативного контроля за финансовым здоровьем портфеля актуарная наука и финансовый менеджмент разработали строгую систему относительных показателей (KPI), образующих так называемую Святую Троицу рискового страхования: Коэффициент убыточности (Loss Ratio), Коэффициент расходов (Expense Ratio) и Комбинированный коэффициент (Combined Ratio).