Поверхности второго порядка: конусы и цилиндры

Каноническое уравнение конуса второго порядка

Прямой круговой конус, хорошо знакомый нам из школы, в аналитической геометрии описывается изящным каноническим уравнением: x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0. Обратите внимание на нулевую правую часть — именно этот ноль отличает конус от однополостного и двуполостного гиперболоидов. Данное уравнение является однородным многочленом второй степени. Геометрически это означает, что если точка M(x; y; z) принадлежит поверхности конуса, то и любая точка M'(tx; ty; tz), лежащая на луче, проходящем через начало координат и точку M, также будет удовлетворять этому уравнению. Таким образом, поверхность конуса целиком состоит из бесконечных прямых линий (образующих), которые все пересекаются в одной единственной точке — начале координат, являющемся вершиной конуса.

Сингулярность вершины и конические сечения

Вершина конуса (0; 0; 0) является сингулярной (особой) точкой этой поверхности. Если мы попытаемся вычислить вектор нормали (градиент) в вершине конуса, все частные производные обратятся в нуль, что математически означает невозможность провести в этой точке единственную касательную плоскость. Само понятие конуса второго порядка неразрывно связано с теорией плоских кривых. Если пересечь коническую поверхность плоскостью, не проходящей через ее вершину, мы получим знаменитые конические сечения. В зависимости от угла наклона секущей плоскости относительно оси конуса, линией сечения будет идеальный эллипс, парабола или гипербола. Этот метод, открытый еще Аполлонием Пергским, получил блестящее алгебраическое подтверждение в Декартовой системе координат.

Эллиптические, параболические и гиперболические цилиндры

Если в каноническом уравнении поверхности второго порядка полностью отсутствует одна из переменных (например, переменная z), мы получаем уравнение цилиндрической поверхности. Например, уравнение x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 в двумерном пространстве описывает эллипс. Но в трехмерном пространстве это же уравнение означает, что для любой точки, лежащей на этом эллипсе, координата z может принимать абсолютно любые значения. Геометрически эллипс «вытягивается» вдоль оси Oz в бесконечную трубу — эллиптический цилиндр. Точно так же уравнение y^2 = 2px задает параболический цилиндр (напоминающий бесконечный водосток), а уравнение x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 — гиперболический цилиндр.

Кинематический способ образования поверхностей

Конусы и цилиндры объединяет кинематический принцип их образования. Обе поверхности образуются непрерывным движением прямой линии (образующей) вдоль некоторой заданной направляющей кривой. Разница заключается лишь в законе движения. Для цилиндрической поверхности образующая прямая скользит по направляющей, оставаясь строго параллельной самой себе (сохраняя постоянный направляющий вектор). Для конической поверхности образующая прямая скользит по направляющей кривой так, чтобы она всегда проходила через одну неподвижную фиксированную точку (вершину). Этот кинематический подход повсеместно используется в CAD-системах (Sweep, Extrude, Loft) для генерации сложных трехмерных деталей из простых двумерных эскизов профилей.