Изометрические проекции и ортогональное проецирование на плоскость

Ортогональное проецирование и матрицы

Процесс ортогонального (прямоугольного) проецирования заключается в том, что из каждой точки трехмерного объекта опускается перпендикуляр (проецирующий луч) на выбранную картинную плоскость. Точка пересечения луча и плоскости становится проекцией исходной точки. В аналитической геометрии это преобразование описывается матрицей вырождения (матрицей с определителем, равным нулю, так как мы безвозвратно теряем одну размерность — глубину пространства Z). Если картинная плоскость совпадает с плоскостью Oxy, матрица проекции имеет простейший вид: единицы на главной диагонали для X и Y, и строгий ноль для Z. Такое преобразование сохраняет истинные размеры всех граней, параллельных плоскости экрана, но полностью сплющивает все боковые грани, что делает чертеж плоским и нечитаемым для человека без технического образования.

Математика изометрической проекции

Чтобы деталь выглядела объемной, плоскость проекции нужно расположить под особым углом к осям координат объекта. Изометрическая проекция (от греческого «равная мера») возникает тогда, когда картинная плоскость наклонена к каждой из трех главных координатных осей (X, Y, Z) под абсолютно одинаковым углом. В аналитической геометрии вычисляется, что этот угол наклона нормали плоскости к осям должен составлять около 54.73 градуса (арккосинус корня из одной трети). При таком строгом математическом угле ориентации все три координатные оси на итоговом 2D-чертеже располагаются под равными углами в 120 градусов друг к другу. Главное преимущество изометрии: масштаб искажения (сжатия) длин отрезков вдоль всех трех осей оказывается абсолютно одинаковым (равным примерно 0.816).

Построение видовой матрицы (View Matrix)

Для программной реализации изометрической проекции в компьютерной графике исходный трехмерный объект необходимо подвергнуть двум последовательным жестким вращениям (изометрическим преобразованиям). Сначала матрица умножается на матрицу поворота вокруг вертикальной оси Y на угол 45 градусов. После этого применяется вторая матрица — поворот вокруг горизонтальной оси X на угол примерно 35.26 градуса (арксинус единицы, деленной на корень из трех). Перемножение этих двух матриц дает итоговую Видовую матрицу (Isometric View Matrix). Когда мы умножаем координаты любой вершины 3D-модели на эту матрицу, а затем просто отбрасываем координату Z, мы получаем идеальный изометрический плоский чертеж. Этот алгоритм десятилетиями использовался для рендеринга псевдо-3D графики в классических стратегических видеоиграх.

Диметрия и триметрия: другие виды аксонометрии

Изометрия — это лишь частный случай более общей теории аксонометрии. Если картинную плоскость наклонить так, чтобы коэффициенты искажения по двум осям были равны, а по третьей отличались, мы получим диметрическую проекцию. Она часто применяется в машиностроительном черчении, когда важно показать одну главную грань детали крупнее, чем боковые. В самом общем случае наклона все три оси получают разные коэффициенты искажения (триметрическая проекция). Аналитическая геометрия доказывает теорему Полке (Pohlke’s theorem), которая гласит, что любые три отрезка на плоскости, выходящие из одной точки и не лежащие на одной прямой, можно рассматривать как точную параллельную проекцию трех взаимно перпендикулярных отрезков равной длины из трехмерного пространства. Это фундаментально оправдывает любой инженерный эскиз, нарисованный от руки.