Проекционные матрицы: ортогональные и косоугольные проекторы

Идемпотентность — главный признак проектора

В алгебре матрица P является проекционной матрицей (проектором) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному простому, но мощному условию: P^2 = P. Это свойство называется идемпотентностью. Его физический смысл абсолютно прозрачен: если мы спроецировали вектор на какую-то плоскость (получив тень), то повторное проецирование этой же тени на ту же самую плоскость ничего не изменит — тень останется тенью. Из свойства P^2 = P немедленно следуют интересные факты о спектре матрицы. Собственные значения любого проектора могут быть строго равны только 1 (для векторов, уже лежащих в плоскости проекции) или 0 (для векторов, которые проецируются в ноль, то есть лежат в ядре проектора). Матрица (I - P) также является проектором, она проецирует векторы в ортогональное дополнение.

Ортогональные проекторы и метод наименьших квадратов

Проекторы бывают косоугольными и ортогональными. Ортогональный проектор «роняет» вектор на подпространство по кратчайшему пути — под углом ровно в 90 градусов. Для того чтобы идемпотентная матрица стала ортогональным проектором (в евклидовом пространстве), она должна быть дополнительно симметричной: P = P^T. Конструкция ортогонального проектора на подпространство, натянутое на линейно независимые столбцы матрицы A, задается знаменитой формулой: P = A * (A^T * A)^(-1) * A^T. Эта матрица играет центральную роль в Методe Наименьших Квадратов (МНК). При решении несовместной системы AX = B, умножение вектора B на этот проектор P дает нам идеальную (ближайшую) правую часть B', для которой система становится решаемой без ошибки.

Косоугольные проекторы в графике и оптике

Если матрица удовлетворяет условию P^2 = P, но не является симметричной, то она описывает косоугольную (параллельную) проекцию. Векторы падают на плоскость не перпендикулярно, а под некоторым заданным углом (как тени на закате, когда солнце светит сбоку). В компьютерной 3D-графике, при программировании в OpenGL или DirectX, матрицы косоугольной проекции используются повсеместно. Они позволяют реализовать эффект изометрии в стратегических видеоиграх или правильно отображать тени от точечных источников света. Конструкция косоугольного проектора требует задания двух подпространств: того, НА которое мы проецируем (образ), и того, ВДОЛЬ которого идет проецирование (ядро).

Разложение пространства в прямую сумму

С точки зрения структуры линейного пространства, любой проектор P неразрывно связан с разложением пространства в прямую сумму двух непересекающихся подпространств: образа проектора (Im P) и ядра проектора (Ker P). Любой абсолютно произвольный вектор x из исходного пространства можно единственным образом представить как сумму двух векторов: x = Px + (I-P)x. Первый вектор (Px) лежит в образе и представляет собой саму проекцию. Второй вектор (x - Px) лежит в ядре и представляет собой ту часть информации, которая была уничтожена (обнулена) в процессе проецирования. Это алгебраическое разделение сигнала на «полезную» составляющую и «шум» является фундаментальным приемом при разработке цифровых фильтров и систем сжатия данных.