Эрмитовы и унитарные пространства: комплексная линейная алгебра

Проблема скалярного произведения

Если мы попытаемся перенести классическое скалярное произведение на комплексные векторы (просто суммируя произведения координат), мы столкнемся с противоречием. Квадрат длины вектора должен быть строго положительным действительным числом. Но если вектор имеет координату, равную мнимой единице (i), то ее квадрат равен -1, и мы получим отрицательную или комплексную «длину», что лишает метрику физического смысла. Чтобы исправить это, было введено эрмитово скалярное произведение: при умножении двух векторов координаты второго вектора берутся в виде комплексно-сопряженных чисел. Благодаря этому произведение вектора на самого себя всегда дает сумму квадратов модулей его координат, то есть строго положительное действительное число.

Эрмитово сопряжение матриц

В вещественной алгебре мы часто используем операцию транспонирования матриц. В комплексной алгебре ее место занимает операция эрмитова сопряжения (часто обозначается крестиком или звездочкой: A* или A^H). Эрмитово сопряжение включает в себя два последовательных шага: сначала мы транспонируем матрицу (меняем строки и столбцы местами), а затем каждое число в матрице заменяем на его комплексно-сопряженное (меняем знак перед мнимой частью). Эта операция является фундаментальной в квантовой физике, где наблюдаемым физическим величинам (таким как импульс или энергия) соответствуют операторы, равные своему эрмитову сопряжению.

Эрмитовы (самосопряженные) матрицы

Матрица, которая совпадает со своей эрмитово сопряженной (A = A*), называется эрмитовой матрицей. Это комплексный аналог симметричных вещественных матриц. Эрмитовы матрицы обладают двумя потрясающими свойствами, которые делают их важнейшим объектом математической физики. Во-первых, абсолютно все собственные значения эрмитовой матрицы являются строго действительными числами (именно поэтому приборы в квантовой физике показывают реальные числа, несмотря на то, что уравнения комплексные). Во-вторых, собственные векторы эрмитовой матрицы, отвечающие различным собственным значениям, всегда ортогональны друг другу в смысле комплексного скалярного произведения.

Унитарные операторы и матрицы

Комплексным аналогом ортогональных матриц являются унитарные матрицы. Это такие квадратные матрицы, эрмитово сопряженные к которым совпадают с их обратными (U* = U^(-1)). Унитарные операторы играют роль идеальных вращений в комплексном пространстве: они сохраняют скалярное произведение, длины векторов и углы между ними. Столбцы и строки унитарной матрицы образуют ортонормированный базис. В квантовых вычислениях все логические вентили квантовых компьютеров (квантовые гейты) физически реализуются исключительно как унитарные матрицы, поскольку законы квантовой механики требуют строгого сохранения вероятности системы (сумма квадратов модулей амплитуд вероятностей должна быть равна единице).