При анализе социальных сетей, проектировании беспроводных сетей или планировании логистики часто возникают задачи поиска экстремальных структур: как найти самую большую группу людей, где абсолютно все знакомы друг с другом? Или, наоборот, как разместить максимальное число антенн так, чтобы ни одна из них не создавала помехи другой? Эти противоположные по смыслу вопросы в дискретной математике описываются понятиями клики и независимого множества графа.

Когда вы нажимаете Ctrl+F в текстовом редакторе, чтобы найти слово в документе, алгоритм последовательно сканирует текст, сравнивая символы. Это работает быстро для коротких файлов, но если вам нужно найти подстроку в геноме человека размером 3 гигабайта или найти плагиат в миллионе книг? Обычные методы потерпят крах. В дискретной математике и алгоритмике эта проблема решается с помощью мощнейших индексных структур: суффиксных деревьев и суффиксных массивов.

Один и тот же математический граф можно нарисовать на листе бумаги бесконечным множеством способов. Мы можем расположить вершины кругом, квадратом, в виде звезды или хаотично, распутав и запутав ребра. Визуально это будут совершенно разные картинки, но с точки зрения дискретной математики они могут представлять абсолютно идентичную структуру связей. Задача определения структурного тождества двух графов называется проблемой изоморфизма графов.